數學手冊（原書第10版）》以手冊的形式涵蓋了人們日常工作、學習所需用到的數學知識。內容包括算術、函數、幾何學、線性代數、代數學、離散數學、微分學、無窮級數、積分學、微分方程、變分法、線性積分方程、泛函分析、向量分析與向量場、函數論、積分變換、概率論與數理統計、動力系統與混沌、優化、數值分析、計算機代數系統等，並專門設有數學常用表格章節，方便讀者查閱。

第1章 算術 1

1.1 基本運演算法則 1

1.1.1 數 1

1.1.2 證明的方法 5

1.1.3 和與積 7

1.1.4 冪、根與對數 9

1.1.5 代數式 12

1.1.6 整有理式 13

1.1.7 有理式 17

1.1.8 無理式 21

1.2 有限級數 22

1.2.1 有限級數的定義 22

1.2.2 等差級數 22

1.2.3 等比級數 23

1.2.4 特殊的有限級數 24

1.2.5 均值 24

1.3 商業數學 26

1.3.1 利息或百分率的計算 26

1.3.2 複利的計算 27

1.3.3 分期付款的計算 28

1.3.4 年金的計算 31

1.3.5 折舊 32

1.4 不等式 35

1.4.1 純不等式 35

1.4.2 特殊不等式 37

1.4.3 線性不等式和二次不等式的解 41

1.5 複數 43

1.5.1 虛數和複數 43

1.5.2 幾何表示 44

1.5.3 複數的計算 46

1.6 代數方程和超越方程 49

1.6.1 把代數方程變換為正規形式 49

1.6.2 不高於四次的方程 51

1.6.3 n次方程 56

1.6.4 化超越方程為代數方程 58

第2章 函數 61

2.1 函數的概念 61

2.1.1 函數的定義 61

2.1.2 實函數的定義方法 63

2.1.3 某些類型的函數 64

2.1.4 函數的極限 68

2.1.5 函數的連續性 74

2.2 初等函數 79

2.2.1 代數函數 79

2.2.2 超越函數 80

2.2.3 複合函數 81

2.3 多項式 81

2.3.1 線性函數 81

2.3.2 二次多項式 82

2.3.3 三次多項式 82

2.3.4 n次多項式 83

2.3.5 n次拋物線 84

2.4 有理函數 85

2.4.1 特殊的分式線性函數(反比) 85

2.4.2 線性分式函數 85

2.4.3 第I類三次曲線 86

2.4.4 第II類三次曲線 87

2.4.5 第III類三次曲線 88

2.4.6 倒數冪 89

2.5 無理函數 90

2.5.1 線性二項式的平方根 90

2.5.2 二次多項式的平方根 91

2.5.3 冪函數 91

2.6 指數函數和對數函數 92

2.6.1 指數函數 92

2.6.2 對數函數 93

2.6.3 誤差曲線 94

2.6.4 指數和 94

2.6.5 廣義誤差函數 95

2.6.6 冪函數與指數函數的乘積 96

2.7 三角函數(角函數) 97

2.7.1 基本概念 97

2.7.2 三角函數的重要公式 103

2.7.3 振動的描述 107

2.8 測圓或反三角函數 110

2.8.1 反三角函數的定義 110

2.8.2 約化為主值 112

2.8.3 主值間的關係 112

2.8.4 負角公式 113

2.8.5 arcsin x與arcsin y的和與差 113

2.8.6 arccos x與arccos y的和與差 114

2.8.7 arctan x與arctan y的和與差 114

2.8.8 arcsin x，arcos x及arctan x間的特殊關係 114

2.9 雙曲函數 115

2.9.1 雙曲函數的定義 115

2.9.2 雙曲函數的圖示 116

2.9.3 有關雙曲函數的重要公式 117

2.10 面積函數 120

2.10.1 定義 120

2.10.2 利用自然對數對面積函數的確定 122

2.10.3 不同面積函數間的關係 122

2.10.4 面積函數的和與差 123

2.10.5 負角公式 123

2.11 三階(三次)曲線 123

2.11.1 二分之三次拋物線 123

2.11.2 阿涅西箕舌線 123

2.11.3 笛卡兒葉形線 124

2.11.4 蔓葉線 125

2.11.5 環索線 126

2.12 四階(四次)曲線 126

2.12.1 尼科梅德斯蚌線 126

2.12.2 一般蚌線 128

2.12.3 帕斯卡蝸線 128

2.12.4 心臟線 129

2.12.5 卡西尼曲線 130

2.12.6 雙紐線 131

2.13 擺線 131

2.13.1 常見(標準)擺線 131

2.13.2 長擺線與短擺線，或次擺線 132

2.13.3 外擺線 133

2.13.4 內擺線與星形線 134

2.13.5 長短幅外擺線與內擺線 135

2.14 螺線 136

2.14.1 阿基米德螺線 136

2.14.2 雙曲螺線 137

2.14.3 對數螺線 137

2.14.4 圓的漸伸線 137

2.14.5 迴旋螺線 138

2.15 各種其他曲線 139

2.15.1 懸鏈線 139

2.15.2 曳物線 139

2.16 經驗曲線的確定 140

2.16.1 步驟 140

2.16.2 實用的經驗公式 141

2.17 標度與坐標紙 149

2.17.1 標度 149

2.17.2 坐標紙 151

2.18 多元函數 153

2.18.1 定義及其表示 153

2.18.2 平面中的不同區域 155

2.18.3 極限 160

2.18.4 連續性 161

2.18.5 連續函數的性質 161

2.19 算圖法 162

2.19.1 算圖 162

2.19.2 網路算圖 162

2.19.3 貫線算圖 164

2.19.4 三個以上變數的網路算圖 167

第3章 幾何學 168

3.1 平面幾何學 168

3.1.1 基本概念 168

3.1.2 圓函數與雙曲函數的幾何定義 171

3.1.3 平面三角形 173

3.1.4 平面四邊形 177

3.1.5 平面上的多邊形 181

3.1.6 圓和有關的圖形 184

3.2 平面三角學 187

3.2.1 三角形 187

3.2.2 大地測量學應用 191

3.3 立體幾何學 201

3.3.1 空間中的直線與平面 201

3.3.2 稜角、隅角、立體角 202

3.3.3 多面體 204

3.3.4 由曲面所界的立體 207

3.4 球面三角學 212

3.4.1 球面幾何學的基本概念 213

3.4.2 球面三角形的基本性質 220

3.4.3 球面三角形的計算 226

3.5 向量代數與解析幾何學 242

3.5.1 向量代數 242

3.5.2 平面解析幾何 254

3.5.3 空間解析幾何 280

3.5.4 幾何變換和坐標變換 307

3.5.5 平面投影 319

3.6 微分幾何學 326

3.6.1 平面曲線 326

3.6.2 空間曲線 343

3.6.3 曲面 350

第4章 線性代數 361

4.1 矩陣 361

4.1.1 矩陣的概念 361

4.1.2 方陣 362

4.1.3 向量 364

4.1.4 矩陣的算術運算 365

4.1.5 矩陣的運演算法則 369

4.1.6 向量範數和矩陣範數 371

4.2 行列式 372

4.2.1 定義 372

4.2.2 行列式計演算法則 373

4.2.3 行列式的計算 375

4.3 張量 375

4.3.1 坐標系的變換 375

4.3.2 笛卡兒坐標下的張量 377

4.3.3 特殊性質的張量 379

4.3.4 曲線坐標系中的張量 381

4.3.5 偽張量 384

4.4 四元數及應用 386

4.4.1 四元數 387

4.4.2 R3中旋轉的表示 393

4.4.3 四元數的應用 403

4.5 線性方程組 409

4.5.1 線性系，選主元法 409

4.5.2 解線性方程組 412

4.5.3 超定線性方程組 419

4.6 矩陣特徵值問題 421

4.6.1 一般特徵值問題 421

4.6.2 特殊特徵值問題 421

4.6.3 奇異值分解 429

第5章 代數和離散數學 432

5.1 邏輯 432

5.1.1 命題演算 432

5.1.2 謂詞演算公式 436

5.2 集論 438

5.2.1 集合的概念、特殊集 438

5.2.2 集合運算 440

5.2.3 關係和映射 444

5.2.4 等價性和序關係 447

5.2.5 集合的基數 449

5.3 經典代數結構 450

5.3.1 運算 450

5.3.2 半群 450

5.3.3 群 451

5.3.4 群表示 456

5.3.5 群的應用 464

5.3.6 李群和李代數 471

5.3.7 環和域 483

5.3.8 向量空間 489

5.4 初等數論 494

5.4.1 整除性 494

5.4.2 線性丟番圖方程 502

5.4.3 同餘和剩餘類 504

5.4.4 費馬定理、歐拉定理和威爾遜定理 509

5.4.5 素數檢驗 510

5.4.6 碼 512

5.5 保密學 516

5.5.1 保密學問題 516

5.5.2 密碼體制 516

5.5.3 數學基礎 517

5.5.4 密碼體制的安全 517

5.5.5 經典密碼分析方法 520

5.5.6 一次一密發射 521

5.5.7 公共密鑰方法 521

5.5.8 DES演算法(數據加密標準) 524

5.5.9 IDEA演算法(國際數據加密標準) 524

5.6 泛代數學 525

5.6.1 定義 525

5.6.2 同餘關係、商代數 525

5.6.3 同態 526

5.6.4 同態定理 526

5.6.5 簇 526

5.6.6 項代數、自由代數 527

5.7 布爾代數和開關代數 528

5.7.1 定義 528

5.7.2 對偶原理 529

5.7.3 有限布爾代數 529

5.7.4 作為序關係的布爾代數 530

5.7.5 布爾函數、布爾表達式 530

5.7.6 正規形式 532

5.7.7 開關代數 533

5.8 圖論演算法 535

5.8.1 基本概念和記號 535

5.8.2 無向圖的遍歷 540

5.8.3 樹和生成樹 545

5.8.4 匹配 548

5.8.5 可平面圖 549

5.8.6 有向圖中的路 550

5.8.7 運輸網路 552

5.9 模糊邏輯 554

5.9.1 模糊邏輯的基本概念

5.9.2 模糊集的連接(聚合) 561

5.9.3 模糊值關係 567

5.9.4 模糊推理(近似推理) 572

5.9.5 逆模糊化方法 573

5.9.6 基於知識的模糊系統 575

第6章 微分學 581

6.1 一元函數的微分 581

6.1.1 微商 581

6.1.2 一元函數微分法則 583

6.1.3 高階導數 589

6.1.4 微分學基本定理 591

6.1.5 極值和拐點的確定 595

6.2 多元函數的微分 598

6.2.1 偏導數 598

6.2.2 全微分和高階微分 600

6.2.3 多元函數的微分法則 604

6.2.4 微分表達式中的變量代換與座標變換 606

6.2.5 多元函數的極值 609

第7章 無窮級數 613

7.1 數列 613

7.1.1 數列的性質 613

7.1.2 數列的極限 614

7.2 數項級數 616

7.2.1 一般收斂定理 616

7.2.2 正項級數的審斂法 617

7.2.3 絕對收斂和條件收斂 619

7.2.4 某些特殊級數 621

7.2.5 餘項估計 624

7.3 函數項級數 625

7.3.1 定義 625

7.3.2 一致收斂 626

7.3.3 冪級數 627

7.3.4 近似公式 631

7.3.5 漸近冪級數 631

7.4 傅里葉級數 633

7.4.1 三角和與傅里葉級數 633

7.4.2 對稱函數係數的確定 635

7.4.3 數值法對傅里葉係數的確定 638

7.4.4 傅里葉級數與傅里葉積分 638

7.4.5 關於表中某些傅里葉級數的注 639

第8章 積分學 641

8.1 不定積分 641

8.1.1 原函數或反導數 641

8.1.2 積分法則 644

8.1.3 有理函數的積分 647

8.1.4 無理函數的積分 651

8.1.5 三角函數的積分 654

8.1.6 超越函數的積分 656

8.2 定積分 657

8.2.1 基本概念、法則和定理 657

8.2.2 定積分的應用 666

8.2.3 廣義積分、斯蒂爾切斯積分與勒貝格積分 673

8.2.4 參數積分 679

8.2.5 由級數展開式進行積分、特殊非初等函數 681

8.3 線積分 684

8.3.1 第一類線積分 684

8.3.2 第二類線積分 687

8.3.3 一般類型的線積分 689

8.3.4 線積分與積分路徑無關 691

8.4 多重積分 694

8.4.1 二重積分 694

8.4.2 三重積分 699

8.5 …面積分 705

8.5.1 第一類…面積分 706

8.5.2 第二類…面積分 709

8.5.3 一般類型的…面積分 711

第9章 微分方程 714

9.1 常微分方程 714

9.1.1 一階微分方程 715

9.1.2 高階微分方程和微分方程組 728

9.1.3 邊值問題 752

9.2 偏微分方程 754

9.2.1 一階偏微分方程 754

9.2.2 二階線性偏微分方程 761

9.2.3 自然科學和工程學中的一些偏微分方程 776

9.2.4 薛定諤方程 780

9.2.5 非線性偏微分方程:孤子、週期模式和混沌 794

第10章 變分法 803

10.1 定義問題 803

10.2 歷史上的問題 804

10.2.1 等周問題 804

10.2.2 捷線問題 804

10.3 一個自變量的變分問題 805

10.3.1 簡單變分問題和極值…線 805

10.3.2 變分法的歐拉微分方程 806

10.3.3 具有附加條件的變分問題 808

10.3.4 具有高階導數的變分問題 808

10.3.5 具有數個未知函數的變分問題 809

10.3.6 利用參數表達式的變分問題 810

10.4 多個自變量函數的變分問題 811

10.4.1 簡單變分問題 811

10.4.2 較一般的變分問題 813

10.5 變分問題的數值解 813

10.6 增補的問題 815

10.6.1 一階和二階變分 815

10.6.2 在物理學中的應用 815

第11章 線性積分方程 816

11.1 引論和分類 816

11.2 第二類弗雷德霍姆積分方程 817

11.2.1 具有退化核的積分方程 817

11.2.2 逐次逼近法、諾伊曼級數 821

11.2.3 弗雷德霍姆解法、弗雷德霍姆定理 823

11.2.4 第二類弗雷德霍姆積分方程的數值解法 827

11.3 第一類弗雷德霍姆積分方程 834

11.3.1 具有退化核的積分方程 834

11.3.2 分析的基礎 835

11.3.3 一個積分方程到一個線性方程組的約化 836

11.3.4 第一類齊次積分方程的解 838

11.3.5 對於一個給定核的兩個特殊的規範正交系的構造 39

11.3.6 迭代法 841

11.4 沃爾泰拉積分方程 842

11.4.1 理論基礎 842

11.4.2 通過微商得到的解 843

11.4.3 通過諾伊曼級數得到的第二類沃爾泰拉積分方程的解 844

11.4.4 卷積型沃爾泰拉積分方程 845

11.4.5 解第二類沃爾泰拉積分方程的數值方法 846

11.5 奇異積分方程 848

11.5.1 阿貝爾積分方程 849

11.5.2 有柯西核的奇異積分方程 850

第12章 泛函分析 855

12.1 向量空間 855

12.1.1 向量空間概念 855

12.1.2 線性和放射子集 856

12.1.3 線性無關元 858

12.1.4 凸子集和凸包 859

12.1.5 線性算子和泛函 860

12.1.6 實向量空間的復化 861

12.1.7 有序向量空間 861

12.2 距離空間 865

12.2.1 距離空間 865

12.2.2 完備的距離空間 869

12.2.3 連續算子 873

12.3 賦範空間 874

12.3.1 賦範空間概念 874

12.3.2 巴拿赫空間 875

12.3.3 序賦範空間 877

12.3.4 賦範代數 878

12.4 希爾伯特空間 879

12.4.1 希爾伯特空間概念 879

12.4.2 正交性 880

12.4.3 希爾伯特空間中的傅里葉級數 882

12.4.4 基的存在性、等距希爾伯特空間 883

12.5 連續線性算子和泛函 884

12.5.1 線性算子的有界性,範數和連續性 884

12.5.2 巴拿赫空間中的連續線性算子 886

12.5.3 線性算子譜理論初步 888

12.5.4 連續線性泛函 890

12.5.5 線性泛函的延拓 891

12.5.6 凸集的分離 892

12.5.7 第二伴隨空間和自反空間 893

12.6 賦範空間中的伴隨算子 894

12.6.1 有界算子的伴隨 894

12.6.2 無界算子的伴隨 895

12.6.3 自伴算子 895

12.7 緊集和緊算子 896

12.7.1 賦範空間的緊子集 896

12.7.2 緊算子 897

12.7.3 弗雷德霍姆擇一性 898

12.7.4 希爾伯特空間中的緊算子 898

12.7.5 緊自伴算子 899

12.8 非線性算子 899

12.8.1 非線性算子的例子 899

12.8.2 非線性算子的可微性 901

12.8.3 牛頓方法 901

12.8.4 紹德爾不動點定理 902

12.8.5 勒雷-紹德爾理論 903

12.8.6 正非線性算子 903

12.8.7 巴拿赫空間中的單調算子 904

12.9 測度和勒貝格積分 905

12.9.1 集代數和測度 905

12.9.2 可測函數 907

12.9.3 積分 907

12.9.4 Lp空間 910

12.9.5 分佈 911

第13章 向量分析和向量場 914

13.1 向量場理論的基本概念 914

13.1.1 一個標量變量的向量函數 914

13.1.2 標量場 916

13.1.3 向量場 919

13.2 空間的微分算子 923

13.2.1 方向導數和空間導數 923

13.2.2 一個標量場的梯度 926

13.2.3 向量梯度 928

13.2.4 向量場的散度 928

13.2.5 向量場的旋度 930

13.2.6 梯度算子和拉普拉斯算子 933

13.2.7 空間微分算子的回顧 936

13.3 向量場中的積分 938

13.3.1 向量場中的線積分和位勢 938

13.3.2 面積分 942

13.3.3 積分定理 945

13.4 場的求值 948

13.4.1 純源場 948

13.4.2 純旋場或無散場 948

13.4.3 有點狀源的向量場 949

13.4.4 場的疊加 950

13.5 向量場理論的微分方程 951

13.5.1 拉普拉斯微分方程 951

13.5.2 泊松微分方程 951

第14章 函數論 953

14.1 複變函數 953

14.1.1 連續性、可微性 953

14.1.2 解析函數 954

14.1.3 共形映射 957

14.2 複平面中的積分 973

14.2.1 定積分和不定積分 973

14.2.2 柯西積分定理 976

14.2.3 柯西積分公式 977

14.3 解析函數的冪級數展開 978

14.3.1 復項級數的收斂性 978

14.3.2 泰勒級數 980

14.3.3 解析延拓原理 980

14.3.4 洛朗展開式 981

14.3.5 孤立奇點和留數定理 982

14.4 用復積分計算實積分 984

14.4.1 柯西積分定理的應用 984

14.4.2 留數定理的應用 985

14.4.3 若爾當引理的應用 986

14.5 代數函數和初等超越函數 989

14.5.1 代數函數 989

14.5.2 初等超越函數 990

14.5.3 …線用復形式的描述 993

14.6 橢圓函數 995

14.6.1 與橢圓積分的關係 995

14.6.2 雅可比函數 997

14.6.3 μ函數 999

14.6.4 魏爾斯特拉斯函數 1000

第15章 積分變換 1002

15.1 積分變換的概念 1002

15.1.1 積分變換的一般定義 1002

15.1.2 特殊的積分變換 1002

15.1.3 逆變換 1002

15.1.4 積分變換的線性性質 1005

15.1.5 多變量函數的積分變換 1005

15.1.6 積分變換的應用 1005

15.2 拉普拉斯變換 1006

15.2.1 拉普拉斯變換的性質 1006

15.2.2 到原始空間的逆變換 1017

15.2.3 使用拉普拉斯變換求解微分方程 1021

15.3 傅里葉變換 1025

15.3.1 傅里葉變換的性質 1025

15.3.2 使用傅里葉變換求解微分方程 1035

15.4 Z變換 1038

15.4.1 Z變換的性質 1038

15.4.2 Z變換的應用 1044

15.5 小波變換 1047

15.5.1 信號 1047

15.5.2 小波 1048

15.5.3 小波變換 1049

15.5.4 離散小波變換 1050

15.5.5 加博變換 1051

15.6 沃爾什函數 1052

15.6.1 階躍函數 1052

15.6.2 沃爾什函數系 1052

第16章 概率論與數理統計 1053

16.1 組合學 1053

16.1.1 全排列 1053

16.1.2 組合 1054

16.1.3 排列 1054

16.1.4 組合學公式集錦(表16.1) 1055

16.2 概率論 1055

16.2.1 事件、頻率和概率 1055

16.2.2 隨機變量、分佈函數 1061

16.2.3 離散分佈 1065

16.2.4 連續分佈 1069

16.2.5 大數定律、極限定理 1077

16.2.6 隨機過程和隨機鏈 1078

16.3 數理統計學 1083

16.3.1 統計量函數或樣本函數 1083

16.3.2 描述性統計學 1086

16.3.3 重要檢驗 1089

16.3.4 相關和迴歸 1095

16.3.5 蒙特卡羅方法 1100

16.4 誤差驗算 1106

16.4.1 測量誤差及其分佈 1106

16.4.2 誤差傳播和誤差分析 1114

第17章 動力系統與混沌 1117

17.1 常微分方程與映射 1117

17.1.1 動力系統 1117

17.1.2 常微分方程的定性理論 1121

17.1.3 離散動力系統 1135

17.1.4 結構穩定性 1137

17.2 吸引子的量化描述 1140

17.2.1 吸引子上的概率測度 1140

17.2.2 熵 1144

17.2.3 李雅普諾夫指數 1145

17.2.4 維數 1147

17.2.5 奇異吸引子與混沌 1155

17.2.6 一維映射的混沌 1156

17.2.7 由時間序列重新構造的動力系統 1157

17.3 分岔理論和通往混沌之路 1160

17.3.1 莫爾斯-斯梅爾系統中的分岔 1160

17.3.2 過渡到混沌 1171

第18章 優化 1179

18.1 線性規劃 1179

18.1.1 問題的提法和幾何表達 1179

18.1.2 線性規劃基本概念、規範形 1183

18.1.3 單純形法 1186

18.1.4 特殊線性規劃問題 1194

18.2 非線性優化問題 1200

18.2.1 問題的提法、理論基礎 1200

18.2.2 特殊非線性優化問題 1203

18.2.3 二次優化問題的解法 1205

18.2.4 數值搜索程序 1208

18.2.5 無約束問題的解法 1209

18.2.6 演化策略 1212

18.2.7 不等式類型約束下問題的梯度法 1216

18.2.8 罰函數法和障礙函數法 1221

18.2.9 割平面法 1224

18.3 離散動態規劃 1225

18.3.1 離散動態決策模型 1225

18.3.2 離散決策模型的例子 1226

18.3.3 貝爾曼泛函方程 1227

18.3.4 貝爾曼…性原理 1228

18.3.5 貝爾曼泛函方程方法 1229

18.3.6 泛函方程方法的應用例子 1230

第19章 數值分析 1233

19.1 數值求解單變量非線性方程 1233

19.1.1 迭代法 1233

19.1.2 多項式方程的解 1237

19.2 方程組的數值解 1241

19.2.1 線性方程組 1242

19.2.2 非線性方程組 1249

19.3 數值積分 1252

19.3.1 一般求積公式 1252

19.3.2 插值求積 1253

19.3.3 高斯求積公式 1254

19.3.4 龍貝格方法 1256

19.4 常微分方程的近似積分 1259

19.4.1 初值問題 1259

19.4.2 邊值問題 1264

19.5 偏微分方程的近似求解 1267

19.5.1 差分法 1268

19.5.2 用已知函數逼近 1270

19.5.3 有限元方法(FEM) 1271

19.6 插值、調整計算、調和分析 1276

19.6.1 多項式插值 1276

19.6.2 平均逼近 1278

19.6.3 切比雪夫逼近 1283

19.6.4 調和分析 1287

19.7 …線和…面用樣條表示 1293

19.7.1 三次樣條 1293

19.7.2 雙三次樣條 1295

19.7.3 …線和…面的伯恩斯坦-貝濟埃表示 1297

19.8 使用計算機 1299

19.8.1 內符號表示 1299

19.8.2 計算機計算中的數值問題 1303

19.8.3 數值方法圖書館 1310

19.8.4 交互程序系統和計算機代數系統的應用 1312

第20章 計算機代數系統——以Mathematica爲例 1327

20.1 引言 1327

20.1.1 對計算機代數系統的簡要描述 1327

20.2 Mathematica的重要結構要素 1329

20.2.1 Mathematica的基本結構要素 1329

20.2.2 Mathematica中數的類型 1330

20.2.3 重要算子 1332

20.2.4 列表 1333

20.2.5 作爲列表的向量和矩陣 1336

20.2.6 函數 1338

20.2.7 模式 1339

20.2.8 函數運算 1341

20.2.9 程序設計 1342

20.2.10 關於句法、信息、消息的補充 1343

20.3 Mathematica的重要應用 1345

20.3.1 對於代數表達式的操作 1345

20.3.2 方程和方程組的解 1348

20.3.3 線性方程組與本徵值問題 1351

20.3.4 微積分 1353

20.4 用Mathematica繪圖 1357

20.4.1 基本圖形元素 1357

20.4.2 圖形基元 1358

20.4.3 圖形選項 1359

20.4.4 圖形表示的句法 1359

20.4.5 二維…線 1362

20.4.6 參數形式…線的繪圖 1364

20.4.7 …面和空間…線的繪圖 1365

第21章 表格 1368

21.1 常用數學常數 1368

21.2 重要自然常數 1368

21.3 (公制)前綴表 1370

21.4 國際物理單位制(SI單位) 1371

21.5 重要級數展開 1373

《數學指南:實用數學手冊》歐美，德文原版累計已逾50萬冊！

《數學指南:實用數學手冊》區別於一般數學手冊的若干特色：

1.《數學指南:實用數學手冊》不僅僅是數學公式、定理與概念的羅列，對於數學各主要學科的全貌有清晰、準確同時較爲通俗的介紹；

2.新增的內容涵蓋了數學理論前沿、數學的應用與交叉以及科學計算，使本書富有時代氣息；

3.貫穿全書的歷史評註和背景介紹，構成了《數學指南:實用數學手冊》特具文化韻味的風景線；

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5.《數學指南:實用數學手冊》內容的取捨，兼顧了不同層次的讀者的基本需求，“從初等的事實到高度成熟的現代結果與方法”，但避免生僻和過於專門。這是《數學指南:實用數學手冊》具有較高可讀性的重要原因。

總之，《數學指南:實用數學手冊》可以說是一部多功能的數學工具書，既是一本完備實用的數學手冊，同時又是瞭解數學科學及其應用的入門概覽。

《數學指南:實用數學手冊》是一部歐美的數學手冊，內容全面而豐富，涵蓋分析學、代數學、幾何學、數學基礎、變分法與優化、概率論與數理統計、計算數學與科學計算、數學史。書中收錄有大量的無窮級數、特殊函數、積分、積分變換、數理統計以及物理學基本常數的表格；此外還附有極爲豐富的重要數學文獻目錄。

埃伯哈德·蔡德勒

德國馬普學會萊比錫數學研究所前所長、德國國家科學院院士。

譯者序

第二版前言

第一版前言

使用說明

引言1

第0章公式、圖和表3

0.1初等數學中的基本公式3

0.1.1數學常數3

0.1.2量角5

0.1.3平面圖形的面積與周長7

0.1.4立體圖形的體積與表面積10

0.1.5正多面體的體積與表面積12

0.1.6n維球的體積與表面積13

0.1.7平面解析幾何學中的基本公式14

0.1.8空間解析幾何學中的基本公式23

0.1.9軍、根與對數24

0.1.10初等代數公式26

0.1.11重要不等式34

0.1.12在行星運動中的應用——數學在太空中的一次勝利38

0.2初等函數及其圖示42

0.2.1函數的變換44

0.2.2線性函數46

0.2.3二次函數46

0.2.4軍函數48

0.2.5歐拉e函數48

0.2.6對數50

0.2.7一般指數函數51

0.2.8正弦與餘弦52

0.2.9正切與餘切58

0.2.10雙曲函數sinhx和coshx61

0.2.11雙曲函數tanhx和cothx63

0.2.12反三角函數64

0.2.13反雙曲函數66

0.2.14多項式68

0.2.15有理函數69

0.3數學與計算機——數學中的革命73

0.4數理統計表與標準過程74

0.4.1測量(試驗)序列的最重要的試驗數據74

0.4.2理論分佈函數76

0.4.3正態分佈檢驗78

0.4.4測量序列的統計計算79

0.4.5兩個測量序列的統計比較79

0.4.6數理統計中的表82

0.5特殊函數值表97

0.5.1Γ函數Γ(x)和1/Γ(x)97

0.5.2柱函數(也稱貝塞爾函數)98

0.5.3球函數(勒讓德多項式)102

0.5.4橢圓積分103

0.5.5積分三角函數與積分指數函數105

0.5.6菲涅耳.積分107

0.5.7函數etdt107

0.5.8角度向弧0度的轉化108

0.6不大於4000的素數表109

0.7級數與乘積公式110

0.7.1特殊級數110

0.7.2軍級數113

0.7.3漸近級數123

0.7.4傅里葉級數126

0.7.5無窮乘積131

0.8函數的微分表132

0.8.1初等函數的微分132

0.8.2單變量函數的微分法則134

0.8.3多變量函數的微分法則136

0.9積分表138

0.9.1初等函數的積分138

0.9.2積分法則140

0.9.3有理函數的積分143

0.9.4重要代換144

0.9.5不定積分表148

0.9.6定積分表182

0.10積分變換表187

0.10.1傅里葉變換187

0.10.2拉普拉斯變換198

0.10.3Z變換210

第1章分析學214

1.1初等分析214

1.1.1實數214

1.1.2複數221

1.1.3在振蕩上的應用226

1.1.4對等式的運算227

1.1.5對不等式的運算229

1.2序列的極限231

1.2.1基本思想231

1.2.2實數的希爾伯特(Hilbert)公理232

1.2.3實數序列235

1.2.4序列收斂準則239

1.3函數的極限242

1.3.1一個實變量的函數242

1.3.2度量空間和點集248

1.3.3多變量函數253

1.4一個實變量函數的微分法256

1.4.1導數256

1.4.2鏈式法則258

1.4.3遞增函數和遞減函數259

1.4.4反函數261

1.4.5泰勒定理和函數的局部行爲263

1.4.6復值函數273

1.5多元實變函數的導數274

1.5.1偏導數274

1.5.2弗吉歇導數276

1.5.3鏈式法則279

1.5.4對微分算子的變換的應用281

1.5.5對函數相關性的應用284

1.5.6隱函數定理285

1.5.7逆映射287

1.5.8n階變分與泰勒定理289

1.5.9在誤差估計上的應用290

1.5.10弗吉歇微分292

1.6單實變函數的積分303

1.6.1基本思想303

1.6.2積分的存在性308

1.6.3微積分基本定理309

1.6.4分部積分法310

1.6.5代換311

1.6.6無界區間上的積分313

1.6.7無界函數的積分314

1.6.8柯西主值315

1.6.9對弧長的應用316

1.6.10物理角度的標準推理317

1.7多實變量函數的積分318

1.7.1基本思想318

1.7.2積分的存在性327

1.7.3積分計算329

1.7.4卡瓦列裏原理(累次積分)331

1.7.5代換332

1.7.6微積分基本定理(高斯–斯托克斯定理)333

1.7.7黎曼曲面測度340

1.7.8分部積分342

1.7.9曲線座標343

1.7.10應用到質心和慣性中點346

1.7.11依賴於參數的積分348

1.8向量代數349

1.8.1向量的線性組合349

1.8.2座標系350

1.8.3向量的乘法352

1.9向量分析與物理學領域354

1.9.1速度和加速度355

1.9.2梯度、散度和旋度357

1.9.3在形變上的應用359

1.9.4哈密頓算子的運算360

1.9.5功、勢能和積分曲線364

1.9.6對力學的守恆律的應用365

1.9.7流、守恆律與高斯積分定理367

1.9.8環量、閉積分曲線與斯托克斯積分定理369

1.9.9根據源與渦確定向量場(向量分析的主要定理)370

1.9.10對電瞄學中麥克斯韋方程的應用371

1.9.11經典向量分析與嘉當微分學的關係373

1.10無窮級數374

1.10.1收斂準則375

1.10.2無窮級數的運算377

1.10.3軍級數380

1.10.4傅里葉級數382

1.10.5發散級數求和386

1.10.6無窮乘積386

1.11積分變換388

1.11.1拉普拉斯變換389

1.11.2傅里葉變換394

1.11.3Z變換399

1.12常微分方程403

1.12.1引導性的例子404

1.12.2基本概念412

1.12.3微分方程的分類421

1.12.4初等解法431

1.12.5應用447

1.12.6線性微分方程組和傳播子451

1.12.7穩定性455

1.12.8邊值問題和格林函數457

1.12.9一般理論462

1.13偏微分方程466

1.13.1數學物理中的一階方程467

1.13.2二階數學物理方程494

1.13.3特徵的作用510

1.13.4關於*性的一般原理519

1.13.5一般的存在性結果521

1.14複變函數530

1.14.1基本思想531

1.14.2複數列532

1.14.3微分533

1.14.4積分535

1.14.5微分式的語言538

1.14.6函數的表示541

1.14.7留數計算與積分計算547

1.14.8映射度549

1.14.9在代數基本定理上的應用550

1.14.10雙全純映射和黎曼映射定理552

1.14.11共形映射的例子553

1.14.12對調和函數的應用561

1.14.13在流體動力學上的應用564

1.14.14在靜電學和靜瞄學上的應用567

1.14.15解析延拓與恆等原理568

1.14.16在歐拉伽馬函數上的應用571

1.14.17橢圓函數和橢圓積分572

1.14.18模形式與P函數的反演問題580

1.14.19橢圓積分582

1.14.20奇異微分方程590

1.14.21在高斯超幾何微分方程上的應用592

1.14.22在貝塞爾微分方程上的應用592

1.14.23多複變函數594

第2章代數學597

2.1初等代數597

2.1.1組合學597

2.1.2行列式600

2.1.3矩陣604

2.1.4線性方程組609

2.1.5多項式的計算614

2.1.6代數學基本定理(根據高斯的觀點)616

2.1.7部分分式分解623

2.2矩陣625

2.2.1矩陣的譜625

2.2.2矩陣的正規形式627

2.2.3矩陣函數634

2.3線性代數636

2.3.1基本思想636

2.3.2線性空間637

2.3.3線性算子640

2.3.4線性空間的計算644

2.3.5對偶性648

2.4多線性代數649

2.4.1代數650

2.4.2多線性型的計算650

2.4.3泛積656

2.4.4李代數661

2.4.5超代數662

2.5代數結構662

2.5.1群663

2.5.2環669

2.5.3域671

2.6伽羅瓦理論和代數方程674

2.6.1三個著名古代問題674

2.6.2伽羅瓦理論的主要定理675

2.6.3廣義代數學基本定理678

2.6.4域擴張的分類679

2.6.5根式可解方程的主定理680

2.6.6尺規作圖681

2.7數論684

2.7.1基本思想685

2.7.2歐幾里得算法686

2.7.3素數分佈689

2.7.4加性分解695

2.7.5用有理數及連分數逼近無理數698

2.7.6超越數703

2.7.7對數π的應用706

2.7.8高斯同餘式710

2.7.9間可夫斯基數的幾何713

2.7.10數論中局部–整體基本原理714

2.7.11理想和因子理論715

2.7.12對二次數域的應用717

2.7.13解析類數公式720

2.7.14一般數域的希爾伯特類域論720

第3章幾何學722

3.1由克萊因的埃爾蘭根綱領所概括的幾何學的基本思想722

3.2初等幾何學723

3.2.1平面三角學723

3.2.2對大地測量學的應用731

3.2.3球面幾何學734

3.2.4對於海上和空中旅行的應用738

3.2.5幾何的希爾伯特公理740

3.2.6歐幾里得平行公理744

3.2.7非歐橢圓幾何學744

3.2.8非歐雙曲幾何學745

3.3向量代數在解析幾何學中的應用747

3.3.1平面中的直線748

3.3.2空間中的直線和平面750

3.3.3體積751

3.4歐氏幾何學(運動的幾何學)752

3.4.1歐幾里得運動群752

3.4.2圓錐截線753

3.4.3二次曲面755

3.5射影幾何學759

3.5.1基本思想759

3.5.2射影映射761

3.5.3n維實射影空間762

3.5.4n維復射影空間763

3.5.5平面幾何學的分類764

3.6微分幾何學767

3.6.1平面曲線768

3.6.2空間曲線774

3.6.3高斯的曲面局部理論777

3.6.4高斯的曲面整體理論786

3.7平面曲線的例子787

3.7.1包絡線和焦散線787

3.7.2漸屈線788

3.7.3漸伸線789

3.7.4惠更斯的曳物線和懸鏈線790

3.7.5伯努利雙紐線和卡西尼卵形線791

3.7.6利薩如圖形792

3.7.7螺線792

3.7.8射線曲線(蚌線)793

3.7.9旋輪線795

3.8代數幾何學799

3.8.1基本思想799

3.8.2平面曲線的例子807

3.8.3對積分計算的應用811

3.8.4平面代數曲線的射影復形式813

3.8.5曲線的虧格817

3.8.6去番圖幾何820

3.8.7解析集和魏爾斯特拉斯預備定理827

3.8.8奇點分解828

3.8.9現代代數幾何的代數化829

3.9現代物理的幾何835

3.9.1基本思想836

3.9.2酋幾何、希爾伯特空間和基本粒子838

3.9.3僞酋幾何845

3.9.4間可夫斯基幾何849

3.9.5對狹義相對論的應用853

3.9.6旋量幾何和費米子859

3.9.7近復結構868

3.9.8辛幾何868

第4章數學基礎871

4.1數學的語言871

4.1.1真命題和假命題871

4.1.2蘊涵872

4.1.3重言律和邏輯定律874

4.2證明的方法876

4.2.1間接證明876

4.2.2歸納法證明877

4.2.3*性證明877

4.2.4存在性證明878

4.2.5計算機時代證明的必要性879

4.2.6不正確的證明881

4.3樸素集合論883

4.3.1基本概念883

4.3.2集合的運算884

4.3.3映射888

4.3.4集合的等勢891

4.3.5關係892

4.3.6集系894

4.4數理邏輯895

4.4.1命題邏輯896

4.4.2謂詞邏輯899

4.4.3集合論的公理900

4.4.4康托爾的無窮結構902

4.5公理方法及其與哲學認識論之關係的歷史905

第5章變分法與*優化908

5.1單變量函數的變分法908

5.1.1歐拉–伯努利方程908

5.1.2應用912

5.1.3哈密頓方程918

5.1.4應用923

5.1.5局部極小值的充分條件926

5.1.6帶約束問題和拉格朗日乘子929

5.1.7應用930

5.1.8自然邊界條件933

5.2多變量函數的變分法934

5.2.1歐拉–拉格朗日方程934

5.2.2應用934

5.2.3帶約束的問題和拉格朗日乘子938

5.3控制問題938

5.3.1貝爾曼動態*優化939

5.3.2應用940

5.3.3龐特里亞金極大值原理942

5.3.4應用943

5.4經典非線性*優化945

5.4.1局部極小化問題945

5.4.2全局極小化問題和凸性946

5.4.3對於高斯*小二乘法的應用946

5.4.4對於僞逆的應用947

5.4.5帶約束的問題和拉格朗日乘子947

5.4.6對惰的應用949

5.4.7次微分950

5.4.8對偶理論和鞍點951

5.5線性*優化952

5.5.1基本思想952

5.5.2一般線性*優化問題954

5.5.3*優化問題的標準形式和*小試驗957

5.5.4單形法957

5.5.5*小試驗958

5.5.6標準形式的獲得961

5.5.7線性*優化中的對偶性962

5.5.8單形法的修改963

5.6線性*優化的應用963

5.6.1容量利用問題963

5.6.2混合問題964

5.6.3資源或產品的分配問題964

5.6.4設計問題和輪班計劃965

5.6.5線性運輸問題966

第6章隨機演算——機會的數學974

6.1基本的隨機性976

6.1.1古典概型976

6.1.2伯努利大數定律978

6.1.3橡莫弗極限定理979

6.1.4高斯正態分佈980

6.1.5相關係數983

6.1.6在經典統計物理學中的應用986

6.2科爾莫戈羅夫的概率論公理化基礎988

6.2.1事件與概率的計算991

6.2.2隨機變量995

6.2.3隨機向量1001

6.2.4極限定理1005

6.2.5應用於獨立重複試驗的伯努利模型1007

6.3數理統計1016

6.3.1基本思想1016

6.3.2重要的估計量1018

6.3.3正態分佈測量值的研究1019

6.3.4經驗分佈函數1022

6.3.5參數估計的*大似然方法1028

6.3.6多元分析1030

6.4隨機過程1032

6.4.1時間序列1034

6.4.2馬爾可夫鏈與隨機矩陣1040

6.4.3泊松過程1042

6.4.4布朗運動與擴散1043

6.4.5關於一般隨機過程的科爾莫戈羅夫主定理1047

第7章計算數學與科學計算1050

7.1數值計算和誤差分析1051

7.1.1算法的概念1051

7.1.2在計算機上表示數1051

7.1.3誤差來源,發現誤差,條件和穩定性1053

7.2線性代數1055

7.2.1線性方程組——直接法1055

7.2.2線性方程組的迭代法1063

7.2.3特徵值問題1066

7.2.4擬合和*小二乘法1070

7.3插值,數值微分和積分1076

7.3.1插值多項式1076

7.3.2數值微分1085

7.3.3數值積分1086

7.4非線性問題1093

7.4.1非線性方程1093

7.4.2非線性方程組1094

7.4.3確定多項式零點1098

7.5數值逼近1102

7.5.1二次平均逼近1103

7.5.2一致逼近1107

7.5.3近似一致逼近1108

7.6常微分方程1109

7.6.1初值問題1109

7.6.2邊值問題1118

7.7偏微分方程與科學計算1121

7.7.1基本思想1121

7.7.2離散方法概述1122

7.7.3橢圓型微分方程1127

7.7.4拋物微分方程1138

7.7.5雙曲微分方程1142

7.7.6自適應離散方法1149

7.7.7方程組的迭代解1151

7.7.8邊界元方法1163

7.7.9調和分析1165

7.7.10反問題1176

數學歷史概要1179

參考文獻1207

數學符號1241

基本物理量綱1245

基本物理常數1247

SI詞頭構成表1251

希臘字母表1252

人名譯名對照表1253

索引1279